Упр.828 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две противоположные вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.
2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что если треугольник имеет: а) ось симметрии, то он равнобедренный; б) более чем одну ось симметрии, то он равносторонний.

а) Пусть у треугольника $$ABC$$ есть ось симметрии $$MN$$.

Ось симметрии переводит фигуру сама в себя, значит, вершины треугольника при отражении либо переходят друг в друга, либо остаются на месте. В треугольнике ось симметрии не может проходить через сторону, поэтому она проходит через одну вершину и пересекает противоположную сторону.

Пусть $$MN$$ проходит через вершину $$B$$ и пересекает сторону $$AC$$ в точке $$O$$. Тогда отражение относительно $$MN$$ переводит точки $$A$$ и $$C$$ друг в друга, следовательно, $$AO=OC$$ и $$BO\perp AC$$.

Значит, прямая $$BO$$ является и медианой, и высотой треугольника $$ABC$$. Тогда треугольник $$ABC$$ равнобедренный, причём $$AB=BC$$.

б) Пусть у треугольника $$ABC$$ более одной оси симметрии.

По пункту а) каждая ось симметрии проходит через вершину треугольника и середину противоположной стороны. Если осей симметрии две, то они проходят через разные вершины, например через $$A$$ и $$B$$.

Тогда из симметрии относительно первой оси получаем $$AB=AC$$, а из симметрии относительно второй — $$AB=BC$$. Следовательно,

$$AB=BC=CA.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равносторонний.

Ответ

а) $$\triangle ABC$$ равнобедренный; б) $$\triangle ABC$$ равносторонний.