Упр.826 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, АСТМ, ВАНК, а затем параллелограммы TCDQ и ЕВКР. Докажите, что треугольник APQ прямоугольный и равнобедренный.
Обозначим $$AB=c,$$ $$BC=a,$$ $$\angle A=\alpha,$$ $$\angle B=\beta.$$ Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$QCD.$$
Так как $$AC=TC=QD=b,$$ $$BC=CD=a,$$ а $$\angle EDQ=\angle BCT+90^\circ,$$ то $$\angle CDQ=\angle C.$$ Следовательно, по первому признаку равенства треугольников
$$\triangle ABC \cong \triangle QCD.$$
Отсюда $$CQ=AB=c,$$ а также
$$\angle ACQ=360^\circ-90^\circ-(\angle C+\angle B)=90^\circ+\alpha.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$PEB.$$ Имеем:
$$AB=KB=PE=c,$$
$$BC=EB=a.$$
Кроме того,
$$\angle PEB=180^\circ-\angle KBE=180^\circ-(360^\circ-290^\circ-\angle B)=\angle B.$$
Значит, по первому признаку равенства треугольников
$$\triangle ABC \cong \triangle PEB,$$
поэтому $$PB=AC=b.$$ Тогда
$$\angle PBA=360^\circ-90^\circ-(\angle C+\angle B)=90^\circ+\alpha.$$
Рассмотрим треугольники $$PBA$$ и $$ACQ.$$ У них
$$\angle PBA=\angle ACQ=90^\circ+\alpha,$$
$$BA=CQ=c,$$
$$PB=AC=b.$$
Следовательно, по первому признаку равенства треугольников
$$\triangle PBA \cong \triangle ACQ.$$
Отсюда $$PA=AQ,$$ значит, $$\triangle APQ$$ равнобедренный с основанием $$PQ.$$
Найдём угол при вершине $$A$$:
$$\angle PAQ=\angle PAB+\angle BAC+\angle CAQ=\beta+\alpha+\delta.$$
Так как сумма углов треугольника $$ABC$$ равна $$180^\circ,$$ то
$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ.$$
Из построения также получаем
$$\gamma+\delta+\alpha=90^\circ.$$
Тогда
$$\angle PAQ=\beta+\alpha+\delta=90^\circ.$$
Значит, треугольник $$APQ$$ прямоугольный. Поскольку $$PA=AQ,$$ он ещё и равнобедренный.
Ответ
$$\triangle APQ$$ — прямоугольный и равнобедренный.
