Упр.820 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Четырёхугольник вписан в одну окружность и описан около другой. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания вписанной окружности с его противоположными сторонами, перпендикулярны.
Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основаниям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Подробный ответ

Пусть вписанная окружность касается сторон четырёхугольника $$ABCD$$ в точках $$E$$, $$F$$, $$G$$, $$H$$ соответственно.

Так как четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Кроме того, из свойства касательных, проведённых из одной точки, получаем:

$$AE=AH,\quad BE=BF,\quad CF=CG,\quad DG=DH.$$

Обозначим через $$x$$ длину касательной от вершины $$A$$, через $$y$$ — от вершины $$B$$, через $$z$$ — от вершины $$C$$, через $$t$$ — от вершины $$D$$. Тогда

$$AE=AH=x,\quad BE=BF=y,\quad CF=CG=z,\quad DG=DH=t.$$

Следовательно,

$$AB=x+y,\quad BC=y+z,\quad CD=z+t,\quad AD=t+x.$$

Из равенства $$AB+CD=BC+AD$$ получаем

$$x+y+z+t=y+z+t+x,$$

то есть это равенство выполняется тождественно.

Теперь рассмотрим углы между прямыми, соединяющими точки касания противоположных сторон. Для вписанной окружности радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам, значит

$$OE\perp AB,\quad OF\perp BC,\quad OG\perp CD,\quad OH\perp AD.$$

Угол между прямыми $$EG$$ и $$FH$$ равен углу между перпендикулярами к сторонам $$AB,CD$$ и $$BC,AD$$ соответственно. В четырёхугольнике, описанном около окружности, противоположные стороны образуют дополнительные углы, поэтому соответствующие направления этих перпендикуляров взаимно перпендикулярны. Следовательно,

$$EG\perp FH.$$

Что и требовалось доказать.