Упр.818 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на одной из них. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых. Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.
Обозначим точки пересечения диагоналей четырёхугольника $$ABCD$$ через $$O$$, то есть $$O=AC\cap BD$$.
По условию периметры треугольников равны:
$$P_{AOB}=P_{BOC}=P_{COD}=P_{AOD}.$$
Запишем их через стороны и диагонали:
$$P_{AOB}=OA+OB+AB,$$
$$P_{BOC}=OB+OC+BC,$$
$$P_{COD}=OC+OD+CD,$$
$$P_{AOD}=OA+OD+AD.$$
Так как все периметры равны, то
$$OA+OB+AB=OB+OC+BC,$$
$$OC+OD+CD=OA+OD+AD.$$
Складывая эти равенства, получаем:
$$OA+OB+AB+OC+OD+CD=OB+OC+BC+OA+OD+AD,$$
$$AB+CD=BC+AD.$$
Аналогично из равенства периметров следует равенство разностей смежных сторон:
$$AB-BC=AD-CD.$$
Рассмотрим возможные случаи.
Если $$AB>BC$$, то из $$AB-BC=AD-CD$$ следует $$AD>CD$$. Тогда при сравнении сумм периметров получаем противоречие условию равенства периметров.
Если $$AB<BC$$, то аналогично снова возникает противоречие.
Значит, возможно только
$$AB=BC.$$
Тогда из равенства $$AB+CD=BC+AD$$ получаем
$$CD=AD.$$
Теперь из равенства разностей смежных сторон имеем
$$AB-AD=BC-CD.$$
Подставляя $$AB=BC$$ и $$AD=CD$$, получаем
$$AB=AD.$$
Следовательно,
$$AB=BC=CD=AD.$$
Значит, четырёхугольник $$ABCD$$ — параллелограмм с равными сторонами, то есть ромб.
Ответ
$$ABCD$$ — ромб.
