Упр.816 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В трапецию с основаниями а и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса AD. Прямая, проведённая через точку D перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е. Точки М и К — основания перпендикуляров, проведённых из точек В и D к прямой АС. Найдите МК, если АЕ = а.

Подробный ответ

Обозначим через $$F$$ точку на стороне $$AB$$ такую, что $$DF \perp AB$$ и $$F \in AB$$.

Рассмотрим треугольник $$FAE$$. Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$, а $$DE \perp AD$$, то в равнобедренном треугольнике $$FAE$$ имеем $$AF = AE = a$$. Следовательно, $$AD$$ является и медианой, поэтому

$$FD = DE = \frac{1}{2}FE.$$

Проведём прямую $$GD$$, параллельную стороне $$AC$$, где $$G \in AB$$. Тогда $$\triangle FGD \sim \triangle FAE$$, откуда

$$\frac{GD}{AE}=\frac{FD}{FE}=\frac{1}{2}.$$

Значит,

$$GD=\frac{1}{2}AE=\frac{a}{2}.$$

Так как $$AB=BC$$, то в треугольнике $$ABC$$ прямая $$GD \parallel AC$$ проходит через середину стороны $$AB$$, а значит, $$G$$ — середина $$AB$$. Тогда $$GD$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$, и потому

$$GD=\frac{1}{2}AC.$$

Пусть $$H = GD \cap BM$$. Поскольку $$BM \perp AC$$ и $$GD \parallel AC$$, то $$BH \perp GD$$. В равнобедренном треугольнике $$GBD$$ высота $$BH$$ является также медианой, значит, $$H$$ — середина $$GD$$. Следовательно,

$$GH=HD=\frac{1}{2}GD=\frac{1}{4}a.$$

Четырёхугольник $$MHDK$$ — прямоугольник: $$BM \perp AC$$ и $$DK \perp AC$$, значит, $$BM \parallel DK$$; кроме того, $$HD \parallel MK$$, так как $$HD \subset GD$$ и $$GD \parallel AC$$, а точки $$M$$ и $$K$$ лежат на $$AC$$. Поэтому противоположные стороны параллельны, и

$$MK=HD=\frac{1}{4}a.$$