Упр.807 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$, $$O$$ — произвольная точка. Докажите, что $$OA+OB+OC=OA_1+OB_1+OC_1$$.

Подробный ответ

Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ выполнено $$AB+CD=BC+AD.$$ Докажем, что в него можно вписать окружность.

Проведём биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ и обозначим их точку пересечения через $$O$$. Тогда точка $$O$$ равноудалена от сторон $$AB$$, $$AD$$ и $$BC$$, значит, через неё можно провести окружность, касающуюся этих трёх сторон.

Докажем, что эта окружность касается и стороны $$CD$$. Предположим противное: пусть прямая $$CD$$ не касается окружности. Тогда она либо не имеет с ней общих точек, либо является секущей.

Рассмотрим случай, когда $$CD$$ — секущая. Проведём касательную $$C’D’$$ к окружности, параллельную стороне $$CD$$. Тогда четырёхугольник $$ABC’D’$$ — описанный, поэтому

$$AB+C’D’=BC’+AD’.$$

Так как $$C’D’ \parallel CD$$, то

$$C’D’=CD.$$

Кроме того, из параллельности и свойств касательных получаем, что разность соответствующих отрезков на параллельных прямых равна расстоянию между ними, и после переноса равенства к стороне $$CD$$ получаем противоречие условию $$AB+CD=BC+AD$$.

Аналогично исключается случай, когда прямая $$CD$$ не имеет общих точек с окружностью: тогда можно провести к окружности касательную, параллельную $$CD$$, и снова получить противоречие условию.

Следовательно, прямая $$CD$$ касается окружности. Значит, окружность касается всех четырёх сторон четырёхугольника $$ABCD$$, то есть в него можно вписать окружность.