Упр.801 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: 801. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведена прямая m, пересекающая эти окружности в точках С и D. Докажите, что величина угла CBD не зависит от выбора прямой m. Докажите, что для любых векторов х и у справедливы неравенства |x|-|y|<|[+y|<|x|+|y|.

Обозначим через $$\angle ACB$$ и $$\angle ADB$$ углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $$AB$$ первой и второй окружностей соответственно. Тогда по теореме о вписанном угле

$$\angle ACB=\frac12\overset{\frown}{AB}, \qquad \angle ADB=\frac12\overset{\frown}{AB}.$$

Следовательно,

$$\angle ACB=\angle ADB.$$

Рассмотрим треугольник $$CBD$$. В нём

$$\angle CBD=180^\circ-\angle ACB-\angle ADB.$$

Так как $$\angle ACB$$ и $$\angle ADB$$ не зависят от выбора секущей $$m$$, то и угол $$\angle CBD$$ не зависит от выбора прямой $$m$$.

Докажем неравенства для любых векторов $$\vec x$$ и $$\vec y$$.

По неравенству треугольника для длин векторов имеем

$$|\vec x+\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

С другой стороны,

$$\vec x=(\vec x+\vec y)-\vec y,$$

поэтому

$$|\vec x|\le |\vec x+\vec y|+|\vec y|,$$

откуда

$$|\vec x|-|\vec y|\le |\vec x+\vec y|.$$

Аналогично, из

$$\vec y=(\vec x+\vec y)-\vec x$$

получаем

$$|\vec y|\le |\vec x+\vec y|+|\vec x|,$$

то есть

$$-|\vec x|\le |\vec x+\vec y|-|\vec y|,$$

или

$$|\vec x+\vec y|\ge |\vec x|-|\vec y|.$$

Итак,

$$|\vec x|-|\vec y|\le |\vec x+\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$

Ответ

$$\angle CBD=180^\circ-\angle ACB-\angle ADB,$$ поэтому угол $$\angle CBD$$ не зависит от выбора прямой $$m$$. Кроме того, для любых векторов $$\vec x$$ и $$\vec y$$ верно

$$|\vec x|-|\vec y|\le |\vec x+\vec y|\le |\vec x|+|\vec y|.$$