Упр.799 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1. Докажите, что градусные меры дуг АВ и АВ1, меньших полуокружности, равны. Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, проведённый из вершины В к большему основанию AD, делит это основание на два отрезка, больший из которых равен 7 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Подробный ответ

1) Так как $$AA_1$$ — диаметр окружности, то $$OA=OA_1=OB=OB_1=r$$.

Рассмотрим треугольники $$BOD$$ и $$DOB_1$$. Поскольку $$AA_1 \perp BB_1$$, то $$\angle BDO=\angle ODB_1=90^\circ$$.

Кроме того, $$BO=OB_1$$, а $$DO$$ — общий катет. Значит, прямоугольные треугольники $$BOD$$ и $$DOB_1$$ равны по гипотенузе и катету.

Отсюда $$\angle BOD=\angle DOB_1$$.

Но $$\angle BOD$$ и $$\angle DOB_1$$ — центральные углы, опирающиеся соответственно на дуги $$\overset{\frown}{AB}$$ и $$\overset{\frown}{AB_1}$$ меньших полуокружностей. Следовательно, эти дуги равны:

$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB_1}.$$

2) Пусть в равнобедренной трапеции $$ABCD$$ из вершины $$B$$ опущен перпендикуляр $$BH$$ на большее основание $$AD$$. По условию больший из отрезков основания равен $$7$$ см.

В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны, поэтому отрезки $$AH$$ и $$HD$$ равны. Значит, больший из них не может быть больше другого; следовательно, оба равны $$7$$ см, то есть

$$AH=HD=7\text{ см}.$$

Средняя линия трапеции равна половине суммы оснований:

$$m=\frac{AD+BC}{2}.$$

Но в равнобедренной трапеции

$$AD=AH+BC+HD,$$

а значит

$$m=\frac{(AH+BC+HD)+BC}{2}=BC+\frac{AH+HD}{2}.$$

Так как $$AH=HD=7$$, получаем

$$m=BC+7.$$

Из рисунка и условия следует, что средняя линия равна сумме одного из равных отрезков и верхнего основания, то есть

$$m=7\text{ см}.$$