Упр.797 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Две окружности радиусов $$r$$ и $$R$$ касаются внешним образом в точке $$A$$. К ним проведена общая внешняя касательная $$MK$$. а) Докажите, что угол $$KAM=90^\circ$$; б) найдите длину отрезка $$MK$$.
Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей.

Подробный ответ

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры окружностей, а $$P$$ — точка пересечения прямой $$O_1O_2$$ с общей внешней касательной $$MK$$.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то

$$O_1K \perp MK,\qquad O_2M \perp MK.$$

Следовательно, треугольники $$AO_1K$$ и $$AO_2M$$ прямоугольные. Кроме того, из касания окружностей внешним образом в точке $$A$$ имеем

$$O_1A=r,\qquad O_2A=R,\qquad O_1O_2=r+R.$$

Поскольку $$MK$$ — общая внешняя касательная, точка $$P$$ лежит на прямой $$O_1O_2$$, а отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Поэтому

$$PK=PA=PM.$$

Тогда в треугольнике $$KAM$$ отрезок $$AP$$ является биссектрисой угла при вершине $$A$$, а также высотой, так как

$$AP \perp MK.$$

Значит,

$$\angle KAM=90^\circ.$$

Теперь найдём $$MK$$. Из прямоугольных треугольников $$AO_1P$$ и $$AO_2P$$ получаем

$$PA^2=PO_1^2-r^2,$$
$$PA^2=PO_2^2-R^2.$$

Так как $$P$$ лежит между $$O_1$$ и $$O_2$$, то

$$PO_1+PO_2=O_1O_2=r+R.$$

Решая систему, получаем

$$PA=\sqrt{rR}.$$

Так как $$PK=PM=PA$$, то