Упр.794 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, вписанная в четырехугольник окружность касается каждой из его сторон, то есть она вписана в каждый из четырех углов, её центр лежит на всех биссектрисах четырехугольника, он лежит в точке их пересечения, что и требовалось доказать.
Сторона АВ треугольника ABC разделена на четыре равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС. Стороны АВ и АС треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Если окружность вписана в четырёхугольник, то она касается всех его сторон, значит, её центр лежит на биссектрисах всех четырёх углов четырёхугольника.

Следовательно, центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов четырёхугольника.

Теперь решим вторую задачу.

Так как точки деления стороны $$AB$$ делят её на четыре равные части, то

$$AB_1=B_1B_2=B_2B_3=B_3B.$$

Прямые $$B_1C_1$$, $$B_2C_2$$, $$B_3C_3$$ параллельны стороне $$BC$$. Тогда по теореме Фалеса отрезки на стороне $$AC$$ также равны:

$$AC_1=C_1C_2=C_2C_3=C_3C.$$

Рассмотрим треугольник $$AB_2C_2$$. Отрезок $$B_1C_1$$ — его средняя линия, так как $$B_1$$ и $$C_1$$ — середины сторон $$AB_2$$ и $$AC_2$$. Поэтому

$$B_1C_1=\frac{1}{2}B_2C_2.$$

Так как $$B_1C_1=3{,}4$$ см, то

$$B_2C_2=2\cdot 3{,}4=6{,}8\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. Отрезок $$B_2C_2$$ — его средняя линия, значит,

$$B_2C_2=\frac{1}{2}BC,$$

откуда

$$BC=2\cdot 6{,}8=13{,}6\text{ см}.$$

В трапеции $$C_2B_2BC$$ отрезок $$B_3C_3$$ — средняя линия, поэтому

$$B_3C_3=\frac{B_2C_2+BC}{2}=\frac{6{,}8+13{,}6}{2}=10{,}2\text{ см}.$$

Ответ

$$6{,}8\text{ см};\ 10{,}2\text{ см}.$$