Упр.786 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
- Отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ — медианы треугольника $$ABC$$. Выразите векторы $$\overrightarrow{AA_1}$$, $$\overrightarrow{BB_1}$$, $$\overrightarrow{CC_1}$$ через векторы $$\vec a=\overrightarrow{AC}$$ и $$\vec b=\overrightarrow{AB}$$.
Пусть $$\vec a=\overrightarrow{AC},\qquad \vec b=\overrightarrow{AB}.$$
Так как $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ — середины сторон треугольника, то
$$\overrightarrow{AB_1}=\frac12\overrightarrow{AC}=\frac12\vec a,$$
$$\overrightarrow{AC_1}=\frac12\overrightarrow{AB}=\frac12\vec b,$$
$$\overrightarrow{BA_1}=\frac12\overrightarrow{BC}.$$
Найдём сначала вектор $$\overrightarrow{BC}$$:
$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\vec b+\vec a=\vec a-\vec b.$$
Тогда
$$\overrightarrow{BA_1}=\frac12\overrightarrow{BC}=\frac12(\vec a-\vec b).$$
Теперь выразим медианы:
$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA_1} =\vec b+\frac12(\vec a-\vec b) =\frac12\vec a+\frac12\vec b,$$
$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB_1} =-\vec b+\frac12\vec a =\frac12\vec a-\vec b,$$
$$\overrightarrow{CC_1}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC_1} =-\vec a+\frac12\vec b =\frac12\vec b-\vec a.$$
Ответ: $$\overrightarrow{AA_1}=\frac12\vec a+\frac12\vec b,\quad \overrightarrow{BB_1}=\frac12\vec a-\vec b,\quad \overrightarrow{CC_1}=\frac12\vec b-\vec a.$$
