Упр.782 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точка касания окружностей принадлежит отрезку, соединяющему их центры, то есть A принадлежит O_1 O_2,а также центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому центры данных окружностей лежат на одной прямой,проходящей через вершину угла и точка A также принадлежит этой прямой, то есть O_1 принадлежит OA и O_2 принадлежит OA,что и требовалось доказать.
В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, точка G — середина стороны ВС. Выразите векторы ЕС и AG через векторы DC = а и ВС = b.

Подробный ответ

Обозначим центры окружностей через $$O_1$$ и $$O_2$$. Так как стороны угла касаются окружностей, то каждая окружность касается обеих сторон угла. Следовательно, её центр равноудалён от сторон угла, а значит, лежит на биссектрисе этого угла.

Обе окружности касаются одной и той же прямой в точке $$A$$, поэтому точка касания лежит на линии центров этих окружностей. Значит, $$A \in O_1O_2$$.

Но центры $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на биссектрисе угла с вершиной $$O$$, а точка $$A$$ также принадлежит этой биссектрисе. Следовательно, все три точки $$O$$, $$A$$, $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на одной прямой.

Итак, центры данных окружностей лежат на прямой $$OA$$.