Упр.780 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.
- Докажите, что для любого вектора $$a$$ справедливы равенства: а) $$1\cdot a=a$$; б) $$(-1)\cdot a=-a$$.
Пусть $$AB$$ — диаметр окружности, $$CD \perp AB$$, а $$E$$ — основание перпендикуляра, то есть $$E \in AB$$ и $$E \in CD$$.
Соединим точки $$C$$ и $$D$$ с центром окружности $$O$$. Тогда $$CO=OD$$ как радиусы одной окружности, значит, $$\triangle COD$$ равнобедренный.
Так как $$AB \perp CD$$, то прямая $$OE$$, лежащая на диаметре $$AB$$, является высотой треугольника $$COD$$, проведённой из вершины $$O$$ к основанию $$CD$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой, следовательно, $$CE=ED$$.
Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle AEC$$ и $$\triangle DEC$$. По свойству хорд окружности получаем:
$$AE \cdot EB = CE \cdot ED.$$
Так как $$CE=ED$$, то
$$AE \cdot EB = CE^2.$$
Отсюда
$$CE=\sqrt{AE \cdot EB}.$$
Значит, перпендикуляр $$CE$$ является средним пропорциональным для отрезков $$AE$$ и $$EB$$, на которые точка $$E$$ делит диаметр.
Ответ: $$CE=\sqrt{AE \cdot EB}$$.
