Упр.778 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Отрезок $$AC$$ — диаметр окружности, $$AB$$ — хорда, $$MA$$ — касательная, угол $$MAB$$ острый. Докажите, что $$\angle MAB=\angle ACB$$.
2. Начертите попарно неколлинеарные векторы $$\vec a$$, $$\vec b$$ и $$\vec c$$. Постройте векторы: а) $$2\vec a+3\vec b-4\vec c$$; б) $$\frac{1}{2}\vec a-\vec b+\frac{1}{3}\vec c$$.

Обозначим центр окружности через $$O$$. Так как $$AC$$ — диаметр, то вписанный угол, опирающийся на дугу $$AC$$, прямой:

$$\angle ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

В треугольнике $$ABC$$ тогда

$$\angle BCA=90^\circ-\angle BAC.$$

Поскольку $$AM$$ — касательная к окружности в точке $$A$$, то радиус $$OA$$ перпендикулярен касательной, а значит, касательная перпендикулярна диаметру $$AC$$:

$$AM\perp AC.$$

Следовательно, угол между прямыми $$AM$$ и $$AB$$ дополняет угол $$BAC$$ до $$90^\circ$$:

$$\angle MAB=90^\circ-\angle BAC.$$

Итак,

$$\angle MAB=90^\circ-\angle BAC=\angle BCA.$$

Значит, $$\angle MAB=\angle ACB$$, что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle MAB=\angle ACB.$$