Упр.773 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Через точку $$A$$ к данной окружности проведены касательная $$AB$$ ( $$B$$ — точка касания) и секущая $$AD$$, проходящая через центр $$O$$ ( $$D$$ — точка на окружности, $$O$$ лежит между $$A$$ и $$D$$). Найдите углы $$BAD$$ и $$ADB$$, если $$BD=110^\circ20’$$.
- Докажите, что для любых двух векторов $$x$$ и $$y$$ справедливо неравенство $$|x-y|<|x|+|y|$$. В каком случае $$|x-y|=|x|+|y|$$?
Пусть $$K$$ — вторая точка пересечения секущей $$AD$$ с окружностью. Тогда точки $$A, K, O, D$$ лежат на одной прямой, а $$O$$ — центр окружности.
Рассмотрим вписанный угол $$\angle BKD$$. Он опирается на дугу $$BD$$, поэтому
$$\angle BKD=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}=\frac{1}{2}\cdot 110^\circ20′ = 55^\circ10′.$$
Так как прямая $$AD$$ проходит через центр $$O$$, то $$KD$$ — диаметр окружности. Следовательно, вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
$$\angle DBK=\frac{1}{2}\overset{\frown}{KD}=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$
В треугольнике $$BKD$$ найдем угол при вершине $$D$$:
$$\angle BDK=180^\circ-\angle BKD-\angle DBK$$
$$\angle BDK=180^\circ-55^\circ10′-90^\circ=34^\circ50′.$$
Но точки $$A, K, D$$ лежат на одной прямой, значит
$$\angle ADB=\angle BDK=34^\circ50′.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$BOD$$. Так как $$OB=OD$$, он равнобедренный, поэтому
$$\angle DBO=\angle BDO=34^\circ50′.$$
Тогда
$$\angle DBA=\angle DBO+\angle OBA=34^\circ50’+90^\circ=124^\circ50′.$$
В треугольнике $$ABD$$ получаем
$$\angle BAD=180^\circ-\angle DBA-\angle ADB$$
$$\angle BAD=180^\circ-124^\circ50′-34^\circ50’=20^\circ20′.$$
Ответ: $$\angle BAD=20^\circ20’$$, $$\angle ADB=34^\circ50′.$$
