Упр.770 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140°, а большая точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ. Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через векторы а и b, если: а) а = АВ, b = ВС; б) а = СВ, b = CD; в) а = АВ, b = DA.

Подробный ответ

Обозначим меньшую дугу $$AM$$ через $$6x$$, а дугу $$BM$$ — через $$5x$$, так как они относятся как $$6:5$$.

Тогда вся окружность состоит из дуг $$AB$$, $$BM$$ и $$MA$$, причём

$$\overset{\frown}{AB}=140^\circ,$$

а значит, сумма остальных дуг равна

$$360^\circ-140^\circ=220^\circ.$$

Следовательно,

$$\overset{\frown}{AM}+\overset{\frown}{BM}=220^\circ,$$

то есть

$$6x+5x=220^\circ,$$

$$11x=220^\circ,$$

$$x=20^\circ.$$

Тогда

$$\overset{\frown}{BM}=5x=5\cdot 20^\circ=100^\circ.$$

Угол $$\angle BAM$$ — вписанный, он опирается на дугу $$BM$$, поэтому

$$\angle BAM=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BM}=\frac{100^\circ}{2}=50^\circ.$$

Ответ

$$50^\circ$$

Ход решения

Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — заданные векторы. Используем правило треугольника и свойства противоположных векторов в параллелограмме.

а) Если $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{BC}$$, то

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\vec a+\vec b.$$

б) Если $$\vec a=\overrightarrow{CB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{CD}$$, то

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}.$$

В параллелограмме $$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}=-\vec a,$$ а также $$\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}=-\vec b.$$ Поэтому

$$\overrightarrow{AC}=-\vec a-\vec b.$$

в) Если $$\vec a=\overrightarrow{AB}$$, $$\vec b=\overrightarrow{DA}$$, то

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$

Так как $$\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{DA}=-\vec b,$$ получаем

$$\overrightarrow{AC}=\vec a-\vec b.$$