Упр.760 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите утверждение 5 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей с неравными радиусами меньше разности радиусов, то одна окружность лежит внутри другой окружности.
2. Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов $$\mathbf{x}$$ и $$\mathbf{y}$$ справедливо неравенство $$|\mathbf{x}+\mathbf{y}|<|\mathbf{x}|+|\mathbf{y}|$$.

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры окружностей с радиусами $$R$$ и $$r$$, причём $$R>r$$. По условию $$AB<R-r$$.

Возьмём произвольную точку $$C$$ на меньшей окружности. Тогда $$BC=r$$. Рассмотрим треугольник $$ABC$$. По неравенству треугольника

$$AB+BC>AC.$$

Подставим известные значения:

$$AB+BC<(R-r)+r=R.$$

Значит,

$$AC<R.$$

Но $$AC$$ — расстояние от центра большей окружности до произвольной точки $$C$$ меньшей окружности. Следовательно, любая точка меньшей окружности лежит внутри большей окружности.

Итак, меньшая окружность целиком лежит внутри большей.