Упр.759 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Пусть A и B-центры окружностей с радиусами R и r, причем R>=r,тогда AB>R+r, на окружности радиуса r отметим произвольную точку C, тогда по неравенству треугольника AC+BC>AB, AC+r>R+r, AC>R, то есть все точки одной из окружностей лежат вне другой окружности, что и требовалось доказать.
Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что: a) MN + NQ = MP + PQ; б) MN + NP = MQ + QP.

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры окружностей радиусов $$R$$ и $$r$$ соответственно, причём $$R \ge r$$. По условию

$$AB > R + r.$$

Возьмём произвольную точку $$C$$ на окружности радиуса $$r$$. Тогда $$BC=r$$. По неравенству треугольника для треугольника $$ABC$$ имеем

$$AC + BC > AB.$$

Подставим $$BC=r$$ и $$AB>R+r$$:

$$AC + r > R + r,$$

откуда

$$AC > R.$$

Значит, любая точка окружности радиуса $$r$$ находится дальше от центра $$A$$, чем радиус $$R$$, то есть лежит вне окружности радиуса $$R$$. Следовательно, окружности не имеют общих точек, и одна окружность лежит вне другой.

Для четырёхугольника $$MNPQ$$ используем правило треугольника для векторов:

$$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{MQ},$$

$$\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{MQ}.$$

Следовательно,

$$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}.$$

Аналогично

$$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP},$$

$$\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{MP},$$

значит,

$$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QP}.$$

Ответ

Окружности не имеют общих точек, и одна из них лежит вне другой. Кроме того,

$$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NQ}=\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{PQ}, \qquad \overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}+\overrightarrow{QP}.$$