Упр.758 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите утверждение 2 из теоремы о взаимном расположении окружностей: если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, то окружности касаются внешним образом.
2. Начертите два ненулевых коллинеарных вектора $$a$$ и $$b$$ так, чтобы $$|a| \ne |b|$$. Постройте векторы: а) $$a-b$$; б) $$b-a$$; в) $$-a+b$$. Выполните ещё раз построение для случая, когда $$|a|=|b|$$.

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры окружностей радиусов $$R$$ и $$r$$, причём $$R\ge r$$. На отрезке $$AB$$ отложим $$AK=R$$. Тогда

$$AB=R+r,$$

следовательно,

$$BK=AB-AK=(R+r)-R=r.$$

Значит, точка $$K$$ принадлежит обеим окружностям, то есть окружности имеют общую точку.

Докажем, что других общих точек у них нет. Возьмём произвольную точку $$C$$ меньшей окружности. Тогда $$BC=r$$. По неравенству треугольника в треугольнике $$ABC$$ имеем

$$AC>AB-BC=(R+r)-r=R.$$

Следовательно, любая точка меньшей окружности, отличная от $$K$$, лежит вне большей окружности. Значит, окружности касаются внешним образом.

Ответ

Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их радиусов, то окружности касаются внешним образом.