Упр.758 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Пусть A и B-центры окружностей с радиусами R и r, причем R>=r,на отрезке AB отложим отрезок AK=R, тогда AB=R+r и BK=AB-AK=r, то есть точка K является общей точкой окружностей, на окружности
радиуса r отметим произвольную точку C, тогда по неравенству треугольника AC>AB-BC, отсюда AC>R, значит все точки меньшей окружности лежат вне другой, что и требовалось доказать.
Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а и b так, чтобы |а| не равен |b|. Постройте векторы: а а — b; б) b — а; в) -а + b. Выполните ещё раз построение для случая, когда |а| = |b|.

Подробный ответ

Пусть $$A$$ и $$B$$ — центры окружностей радиусов $$R$$ и $$r$$, причём $$R \ge r$$. По условию $$AB=R+r$$.

Отложим на отрезке $$AB$$ точку $$K$$ так, что $$AK=R$$. Тогда

$$BK=AB-AK=(R+r)-R=r.$$

Значит, точка $$K$$ принадлежит обеим окружностям, то есть окружности имеют общую точку.

Докажем, что других общих точек у них нет. Возьмём произвольную точку $$C$$ меньшей окружности. Тогда $$BC=r$$. В треугольнике $$ABC$$ по неравенству треугольника

$$AC>AB-BC.$$

Подставим $$AB=R+r$$ и $$BC=r$$:

$$AC>(R+r)-r=R.$$

Следовательно, любая точка меньшей окружности лежит вне большей окружности. Значит, окружности имеют единственную общую точку $$K$$ и касаются внешним образом.

Для векторов рассмотрим коллинеарные ненулевые векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$.

Если $$|\vec a| \ne |\vec b|$$, то при построении:

$$\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)$$;
$$\vec b-\vec a=\vec b+(-\vec a)$$;
$$-\vec a+\vec b=\vec b-\vec a$$.

Так как векторы коллинеарны, все эти разности также будут коллинеарными векторами на той же прямой, а их направление и длина определяются вычитанием длин соответствующих направленных отрезков.

Если же $$|\vec a|=|\vec b|$$, то при коллинеарности векторов получаем, что они либо равны, либо противоположны. В обоих случаях

$$\vec a-\vec b=\vec 0,\qquad \vec b-\vec a=\vec 0,\qquad -\vec a+\vec b=\vec 0.$$