Упр.756 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Три равные окружности радиуса $$r$$ касаются друг друга внешним образом. Найдите стороны и углы треугольника, вершинами которого являются: а) центры данных окружностей; б) точки касания данных окружностей.
2. Начертите попарно неколлинеарные векторы $$\vec{x}$$, $$\vec{y}$$, $$\vec{z}$$ и постройте векторы $$\vec{x}-\vec{y}$$, $$\vec{z}-\vec{y}$$, $$\vec{x}-\vec{z}$$, $$-\vec{x}$$, $$-\vec{y}$$, $$-\vec{z}$$.

Так как три окружности равны и касаются друг друга внешним образом, расстояния между их центрами равны сумме радиусов:

$$AB=AE+BE=r+r=2r,$$

$$BC=BD+CD=r+r=2r,$$

$$AC=AF+CF=r+r=2r.$$

Следовательно, $$AB=BC=AC=2r,$$ значит, треугольник $$ABC$$ равносторонний. Тогда

$$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$EDF$$, где $$D, E, F$$ — точки касания. Отрезки, соединяющие точки касания, равны половинам соответствующих сторон треугольника центров:

$$DF=\frac12 AB=\frac12\cdot 2r=r,$$

$$DE=\frac12 AC=\frac12\cdot 2r=r,$$

$$FE=\frac12 BC=\frac12\cdot 2r=r.$$

Значит, $$DF=DE=FE=r,$$ то есть треугольник $$EDF$$ тоже равносторонний. Поэтому

$$\angle E=\angle D=\angle F=60^\circ.$$

Ответ: а) $$AB=BC=AC=2r,$$ $$\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ$$; б) $$DF=DE=FE=r,$$ $$\angle E=\angle D=\angle F=60^\circ$$.