Упр.755 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ и радиусами $$R$$ и $$r$$, если:
а) $$O_1O_2=12\ \text{см}$$, $$R=8\ \text{см}$$, $$r=6\ \text{см}$$;
б) $$O_1O_2=12\ \text{см}$$, $$R=8\ \text{см}$$, $$r=4\ \text{см}$$;
в) $$O_1O_2=12\ \text{см}$$, $$R=6\ \text{см}$$, $$r=4\ \text{см}$$;
г) $$O_1O_2=2\ \text{см}$$, $$R=8\ \text{см}$$, $$r=6\ \text{см}$$;
д) $$O_1O_2=3\ \text{см}$$, $$R=5\ \text{см}$$, $$r=4\ \text{см}$$?
Начертите попарно неколлинеарные векторы $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$, $$e$$ и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор $$a+b+c+d+e$$.

Подробный ответ

Число общих касательных двух окружностей зависит от расстояния $$O_1O_2$$ и суммы/разности их радиусов.

$$O_1O_2=12\text{ см},\quad R=8\text{ см},\quad r=6\text{ см}$$

$$R+r=8+6=14\text{ см}$$

Так как $$R+r>O_1O_2$$, окружности пересекаются, значит, общих касательных две.
$$O_1O_2=12\text{ см},\quad R=8\text{ см},\quad r=4\text{ см}$$

$$R+r=8+4=12\text{ см}$$

Так как $$R+r=O_1O_2$$, окружности касаются внешним образом, значит, общих касательных три.
$$O_1O_2=12\text{ см},\quad R=6\text{ см},\quad r=4\text{ см}$$

$$R+r=6+4=10\text{ см}$$

Так как $$R+r<O_1O_2$$, окружности расположены отдельно, значит, общих касательных четыре.
$$O_1O_2=2\text{ см},\quad R=8\text{ см},\quad r=6\text{ см}$$

$$R-r=8-6=2\text{ см}$$

Так как $$R-r=O_1O_2$$, окружности касаются внутренним образом, значит, общая касательная одна.
$$O_1O_2=3\text{ см},\quad R=5\text{ см},\quad r=4\text{ см}$$

$$R-r=5-4=1\text{ см}$$

Так как $$R-r<O_1O_2$$, одна окружность не лежит внутри другой, значит, общих касательных четыре.