Упр.749 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Отрезок АН — перпендикуляр, проведённый из точки А к прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружности, если: а) ОА = 5см, АН = 4 см; б) угол HAO = 45°, ОА = 4 см; в) угол HAO = 30°, ОА = 6 см? Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK равнобедренной трапеции MNLK. Равны ли векторы: a) NL и KL; б) MS и SN; в) MN и KL; г) TS и КМ; д) TL и КТ?

Подробный ответ

1) Так как $$AH \perp OH$$, то треугольник $$AOH$$ прямоугольный. Прямая $$AH$$ будет касательной к окружности тогда и только тогда, когда расстояние от центра $$O$$ до этой прямой равно радиусу окружности, то есть $$OH=r=3$$ см.

а) По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$AOH$$:

$$ OH^2=AO^2-AH^2=5^2-4^2=25-16=9, $$

значит, $$OH=3$$ см. Следовательно, $$OH=r$$, и прямая $$AH$$ является касательной.

б) $$\angle HOA=45^\circ$$, а так как $$\angle AHO=90^\circ$$, то $$\angle OAH=45^\circ$$. Значит, треугольник $$AOH$$ равнобедренный, поэтому $$AH=OH$$.

Из условия $$AO=4$$ см. Тогда по теореме Пифагора:

$$ AO^2=AH^2+OH^2=2OH^2, $$

откуда

$$ 2OH^2=16,\qquad OH^2=8,\qquad OH=2\sqrt{2}. $$

Так как $$2\sqrt{2}\ne 3$$, то $$AH$$ не является касательной.

в) $$\angle HOA=30^\circ$$, значит в прямоугольном треугольнике $$AOH$$ угол $$\angle OAH=60^\circ$$. В треугольнике $$30^\circ-60^\circ-90^\circ$$ катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$ AH=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}\cdot 6=3\text{ см}. $$

Тогда $$OH=3$$ см, то есть $$OH=r$$. Следовательно, $$AH$$ является касательной.

2) В равнобедренной трапеции $$MNLK$$ точки $$S$$ и $$T$$ — середины боковых сторон $$MN$$ и $$LK$$.

а) Векторы $$\overrightarrow{NL}$$ и $$\overrightarrow{KL}$$ не коллинеарны, значит, они не равны.

б) Так как $$S$$ — середина отрезка $$MN$$, то векторы $$\overrightarrow{MS}$$ и $$\overrightarrow{SN}$$ сонаправлены и равны по длине:

$$ \overrightarrow{MS}=\overrightarrow{SN}. $$

в) Векторы $$\overrightarrow{MN}$$ и $$\overrightarrow{KL}$$ не коллинеарны, значит, они не равны.

г) Отрезок $$ST$$ — средняя линия трапеции, поэтому

$$ ST=\frac{1}{2}MK. $$

Следовательно, векторы $$\overrightarrow{TS}$$ и $$\overrightarrow{KM}$$ сонаправлены, но их длины различны, значит, они не равны.

д) Так как $$T$$ — середина отрезка $$KL$$, то

$$ \overrightarrow{TL}=\overrightarrow{KT}. $$