Упр.745 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ, если угол AOB = 60°, а r= 12 см. В прямоугольнике ABCD АВ = 3см, ВС = 4 см, М — середина стороны АВ. Найдите длины векторов АВ, ВС, DC, МС, МА, СВ, АС.

1) Так как $$AB$$ — касательная к окружности в точке $$B$$, то радиус $$OB$$ перпендикулярен касательной:

$$OB \perp AB.$$

Следовательно, треугольник $$AOB$$ прямоугольный, и для угла $$\angle AOB=60^\circ$$ имеем:

$$\tg \angle AOB=\frac{AB}{OB}.$$

Тогда

$$AB=OB\cdot \tg 60^\circ=12\cdot \sqrt{3}=12\sqrt{3}\text{ см}.$$

2) В прямоугольнике $$ABCD$$:

$$|AB|=3\text{ см}, \quad |BC|=4\text{ см}, \quad |DC|=|AB|=3\text{ см}.$$

Так как $$M$$ — середина стороны $$AB$$, то

$$|MA|=\frac{1}{2}|AB|=\frac{3}{2}=1{,}5\text{ см}.$$

Найдём $$|MC|$$ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$BMC$$:

$$BM=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}\text{ см},$$

$$MC=\sqrt{BC^2+BM^2}=\sqrt{4^2+\left(\frac{3}{2}\right)^2}=\sqrt{16+\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{73}{4}}=\frac{\sqrt{73}}{2}\text{ см}.$$

Диагональ прямоугольника $$AC$$ равна:

$$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5\text{ см}.$$

Ответ

$$AB=12\sqrt{3}\text{ см}; \quad |AB|=3\text{ см}; \quad |BC|=4\text{ см}; \quad |DC|=3\text{ см}; \quad |MC|=\frac{\sqrt{73}}{2}\text{ см}; \quad |MA|=1{,}5\text{ см}; \quad |CB|=4\text{ см}; \quad |AC|=5\text{ см}.$$