Упр.742 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Даны квадрат ОABC, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС и АС являются секущими по отношению к этой окружности? Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и некод. линеарные; б) имеющие равные длины и сонаправленные; в) имеющие равные длины и противоположно направленные. В каком случае полученные векторы равны?

Подробный ответ

1) Прямая $$OA$$ проходит через центр окружности $$O$$, значит, она пересекает окружность в двух точках. Следовательно, $$OA$$ — секущая.

2) В квадрате $$OABC$$ имеем $$AB \perp OA$$. Тогда расстояние от центра окружности до прямой $$AB$$ равно $$OA=6$$ см. Так как радиус окружности $$r=5$$ см и $$6>5$$, прямая $$AB$$ не пересекает окружность, то есть не является секущей.

3) Аналогично, $$BC \perp OC$$, поэтому расстояние от точки $$O$$ до прямой $$BC$$ равно $$OC=6$$ см. Поскольку $$6>5$$, прямая $$BC$$ не является секущей.

4) Для диагонали $$AC$$ найдём расстояние от центра $$O$$ до этой прямой. В квадрате диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому это расстояние равно половине диагонали квадрата:

$$ OD=\frac{1}{2}\sqrt{6^2+6^2}=\frac{1}{2}\sqrt{72}=3\sqrt{2}\text{ см}. $$

Так как $$3\sqrt{2}\approx 4{,}24<5$$, прямая $$AC$$ пересекает окружность в двух точках, значит, она является секущей.

Итак, секущими являются прямые $$OA$$ и $$AC$$.

а) Векторы с равными длинами и неколлинеарные можно изобразить, например, как два равных по длине, но направленных под разными углами вектора.

б) Векторы с равными длинами и сонаправленные равны, если их длины одинаковы. Значит, в этом случае полученные векторы равны.

в) Векторы с равными длинами и противоположно направленные не равны, так как у них разные направления.