Упр.74 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Через точку А, не лежащую на прямой а, проведены три прямые, пересекающие прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а. Точка N лежит на отрезке МР. Расстояние между точками М и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и М в два раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите расстояние: а) между точками N и Р; б) между точками N и М.

Подробный ответ

Обозначим через $$h$$, $$g$$ и $$f$$ три прямые, проведённые через точку $$A$$ и пересекающие прямую $$a$$.

Предположим, что все три прямые перпендикулярны прямой $$a$$. Тогда каждая из них перпендикулярна одной и той же прямой $$a$$, а значит, они параллельны между собой.

Но параллельные прямые не пересекаются, тогда как по условию все три прямые проходят через одну точку $$A$$ и, следовательно, пересекаются в этой точке. Получаем противоречие.

Значит, не все три прямые могут быть перпендикулярны прямой $$a$$, то есть по крайней мере две из них не перпендикулярны прямой $$a$$.

Пусть $$NP=x$$. Тогда по условию $$NM=2x$$. Так как точка $$N$$ лежит на отрезке $$MP$$, имеем

$$MP=NM+NP$$

Подставим данные:

$$24=x+2x$$

$$3x=24$$

$$x=8$$

Тогда

$$NP=8\text{ см}$$

$$NM=2\cdot 8=16\text{ см}$$