Упр.735 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Постройте треугольник, если даны середины его сторон. В трапецию с основаниями а и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная, значит $$AB=CD.$$
Поскольку трапеция описана около окружности, суммы противоположных сторон равны:
$$AB+CD=AD+BC=a+b.$$
Отсюда
$$2AB=a+b,\qquad AB=\frac{a+b}{2}.$$
Проведём высоты $$BE$$ и $$CF$$. Тогда $$BE=CF$$ как высоты трапеции.
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ABE$$ и $$\triangle CFD$$. У них
$$AB=CD,\qquad BE=CF,$$
следовательно, они равны, и потому
$$AE=FD.$$
Но
$$AE+EF+FD=AD=a,$$
а так как $$EF=BC=b,$$ то
$$2AE=a-b,\qquad AE=\frac{a-b}{2}.$$
Теперь по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABE$$:
$$ BE^2=AB^2-AE^2 =\left(\frac{a+b}{2}\right)^2-\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 $$
$$ =\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4} =\frac{a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2}{4} =ab. $$
Значит,
$$BE=\sqrt{ab}.$$
Так как окружность касается обеих оснований трапеции, её диаметр равен высоте трапеции, то есть $$BE=2r.$$ Следовательно,
$$r=\frac{BE}{2}=\frac{\sqrt{ab}}{2}.$$
Ответ
$$r=\frac{\sqrt{ab}}{2}.$$
