Упр.734 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны три отрезка, длины которых соответственно равны $$a$$, $$b$$ и $$c$$. Постройте отрезок, длина которого равна $$\frac{ab}{c}$$.
2. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность и можно описать около него окружность, то этот параллелограмм — квадрат.

Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм.

Так как в параллелограмм можно вписать окружность, то он является касательным четырёхугольником. Для такого четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Но в параллелограмме $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, значит

$$2AB=2BC,$$

откуда

$$AB=BC.$$

Следовательно, параллелограмм имеет равные соседние стороны, то есть является ромбом.

Теперь используем условие, что около параллелограмма можно описать окружность. Тогда этот четырёхугольник — вписанный, а значит его противоположные углы в сумме дают $$180^\circ$$:

$$\angle A+\angle C=180^\circ.$$

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому

$$\angle A=\angle C,$$

следовательно,

$$2\angle A=180^\circ,\qquad \angle A=90^\circ.$$

Значит, все углы параллелограмма прямые. Итак, $$ABCD$$ — прямоугольник.

Но мы уже установили, что $$ABCD$$ — ромб. Параллелограмм, который одновременно является ромбом и прямоугольником, — это квадрат.

Ответ: $$ABCD$$ — квадрат.