Упр.733 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Дан треугольник ABC. Постройте треугольник А1В1С1, подобный треугольнику ABC, площадь которого в два раза больше площади треугольника ABC. Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle A_1B_1C_1 \sim \triangle ABC.$$ Тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}}=\left(\frac{A_1B_1}{AB}\right)^2=2.$$

Следовательно, коэффициент подобия

$$k=\frac{A_1B_1}{AB}=\sqrt{2}.$$

Значит, нужно построить треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия $$\sqrt{2}$$. Для этого на сторонах $$AB$$ и $$AC$$ строим квадраты и берём их диагонали: диагональ квадрата в $$\sqrt{2}$$ раза больше его стороны. Тогда можно отложить

$$A_1B_1=\sqrt{2}\,AB,\qquad A_1C_1=\sqrt{2}\,AC.$$

После этого через точку $$A_1$$ проводим прямые, параллельные $$AB$$ и $$AC$$, откладываем на них найденные отрезки и соединяем точки $$A_1, B_1, C_1$$. Получаем треугольник $$A_1B_1C_1 \sim ABC$$, причём

$$S_{A_1B_1C_1}=2S_{ABC}.$$

Теперь найдём радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник, если радиус описанной окружности $$R=10$$ см.

В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружностей совпадает, а высота делится этим центром в отношении $$2:1$$, считая от вершины. Поэтому

$$R=2r.$$

Тогда

$$r=\frac{R}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$