Упр.732 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ подобны, если $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{AD}{A_1D_1}$$, где AD и А₁D₁ — биссектрисы треугольников.
2. В прямоугольном треугольнике ABC из точки М стороны АС проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите, что углы МНС и МВС равны.

Рассмотрим четырёхугольник $$BCMH.$$

Так как $$\angle C=90^\circ$$ и по условию $$MH\perp AB,$$ а точка $$H$$ лежит на $$AB,$$ то $$\angle BHM=90^\circ.$$

Кроме того, в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем $$\angle B+\angle C=90^\circ.$$

Поскольку точки $$B,\,M,\,C,\,H$$ лежат на одной окружности, то углы $$\angle MHC$$ и $$\angle MBC$$ опираются на одну и ту же дугу $$MC.$$ Следовательно,

$$\angle MHC=\angle MBC.$$

Но $$\angle MHC=\angle MBC$$, а значит, требуемое равенство углов выполнено.

Ответ: $$\angle MHC=\angle MBC.$$