Упр.728 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- На стороне $$AD$$ параллелограмма $$ABCD$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$AK=\frac{1}{4}KD$$. Диагональ $$AC$$ и отрезок $$BK$$ пересекаются в точке $$P$$. Найдите площадь параллелограмма $$ABCD$$, если площадь треугольника $$APK$$ равна $$1\ \text{см}^2$$.
- Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб — квадрат.
Обозначим площадь треугольника $$APK$$ через $$S_{APK}=1\text{ см}^2$$.
Рассмотрим треугольники $$APK$$ и $$CBP$$.
У них:
- $$\angle APK=\angle CPB$$ — вертикальные;
- $$\angle AKP=\angle CBP$$, так как $$AK \parallel BC$$, а точки $$A, K, D$$ лежат на одной прямой, значит $$KP$$ и $$BP$$ пересекают параллельные прямые.
Следовательно, $$\triangle APK \sim \triangle CBP$$.
Из подобия получаем:
$$\frac{BP}{PK}=\frac{BC}{AK}.$$
По условию $$AK=\frac14 KD$$, значит
$$AK=\frac15 AD.$$
Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то $$AD=BC$$, следовательно
$$AK=\frac15 BC,$$
откуда
$$\frac{BC}{AK}=5.$$
Значит,
$$\frac{BP}{PK}=5.$$
Треугольники $$APK$$ и $$APB$$ имеют общую высоту из точки $$A$$ к прямой $$BK$$, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований:
$$\frac{S_{APB}}{S_{APK}}=\frac{BP}{PK}=5.$$
Тогда
$$S_{APB}=5\cdot 1=5\text{ см}^2.$$
Из подобия $$\triangle APK \sim \triangle CBP$$ коэффициент подобия равен $$5$$, значит отношение площадей равно $$25$$:
$$\frac{S_{CBP}}{S_{APK}}=25,$$
откуда
$$S_{CBP}=25\text{ см}^2.$$
Диагональ $$AC$$ делит параллелограмм на два равновеликих треугольника, поэтому
$$S_{ABC}=S_{APB}+S_{CBP}=5+25=30\text{ см}^2.$$
Тогда площадь параллелограмма равна
$$S_{ABCD}=2S_{ABC}=2\cdot 30=60\text{ см}^2.$$
Ответ
$$60\text{ см}^2$$
