Упр.727 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма оснований равна b, диагональ АС равна a, угол ACB = a. Найдите площадь трапеции. В равнобедренный треугольник вписана окружность с центром O1 и около него описана окружность с центром O2. Докажите, что точки О1 и O2 лежат на серединном перпендикуляре к основанию треугольника.

Подробный ответ

1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot CC_1.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. В нём $$\angle ACC_1=\alpha$$, $$AC=a$$, значит

$$CC_1=AC\cdot \sin\alpha=a\sin\alpha.$$

По условию $$AD+BC=b$$, поэтому

$$S_{ABCD}=\frac{1}{2}b\cdot a\sin\alpha=\frac{1}{2}ab\sin\alpha.$$

2) Пусть в равнобедренный треугольник $$ABC$$ вписана окружность с центром $$O_1$$, а около него описана окружность с центром $$O_2$$. Докажем, что точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию $$AC$$.

Так как $$O_1$$ — центр вписанной окружности, то он лежит на биссектрисах углов треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине $$B$$ является также медианой и высотой, то есть совпадает с серединным перпендикуляром к основанию $$AC$$. Следовательно, $$O_1$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$AC$$.

Так как $$O_2$$ — центр описанной окружности, то он лежит на серединных перпендикулярах ко всем сторонам треугольника. В частности, он лежит на серединном перпендикуляре к стороне $$AC$$. Значит, $$O_2$$ тоже лежит на серединном перпендикуляре к $$AC$$.

Итак, точки $$O_1$$ и $$O_2$$ лежат на серединном перпендикуляре к основанию $$AC$$.