Упр.726 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В треугольнике $$ABC$$ ($$AB\ne AC$$) через середину стороны $$BC$$ проведена прямая, параллельная биссектрисе угла $$A$$, которая пересекает прямые $$AB$$ и $$AC$$ соответственно в точках $$D$$ и $$E$$. Докажите, что $$BD=CE$$.
- Центр описанной около треугольника окружности лежит на медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедренный, либо прямоугольный.
Обозначим точку пересечения прямой, проведённой через середину стороны $$BC$$ параллельно биссектрисе угла $$A$$, с прямой $$AB$$ через $$D$$, а с прямой $$AC$$ — через $$E$$. Пусть эта прямая пересекает биссектрису угла $$A$$ в точке $$K$$.
Так как $$AA_1$$ — биссектриса угла $$A$$, то
$$\frac{AB}{A_1B}=\frac{AC}{A_1C}.$$
Рассмотрим треугольники $$DBK$$ и $$BAA_1$$. У них
$$\angle B$$ — общий, а $$\angle D=\angle A$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$DK \parallel AA_1$$.
Следовательно, $$\triangle DBK \sim \triangle BAA_1$$, откуда
$$\frac{BD}{BA}=\frac{BK}{A_1B}.$$
Значит,
$$BD=BK\cdot \frac{AB}{A_1B}.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$AA_1C$$ и $$EKC$$. У них
$$\angle C$$ — общий, а $$\angle E=\angle A$$ как соответственные углы при параллельных прямых $$EK \parallel AA_1$$.
Следовательно, $$\triangle AA_1C \sim \triangle EKC$$, откуда
$$\frac{AC}{KC}=\frac{A_1C}{EC}.$$
Значит,
$$EC=KC\cdot \frac{AC}{A_1C}.$$
Так как точка $$K$$ — середина отрезка, проведённого через середину $$BC$$ параллельно биссектрисе, то $$BK=KC$$. Кроме того, из свойства биссектрисы
$$\frac{AB}{A_1B}=\frac{AC}{A_1C}.$$
Тогда
$$BD=BK\cdot \frac{AB}{A_1B}=KC\cdot \frac{AC}{A_1C}=EC.$$
Следовательно, $$BD=CE$$, что и требовалось доказать.
