Упр.725 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что $$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$$.
2. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями $$a$$ и $$b$$.

Проведём высоту $$CH$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$CH=2r$$, так как окружность касается обеих оснований трапеции, а расстояние между ними равно диаметру вписанной окружности.

Обозначим $$HD=x$$. Тогда

$$AD=BC+HD=b+a?$$

Удобнее воспользоваться свойством четырёхугольника, описанного около окружности: суммы длин противоположных сторон равны. Для прямоугольной трапеции получаем

$$AB+CD=BC+AD.$$

Так как $$AB=CH=2r$$, $$BC=a$$, $$AD=b$$, то

$$CD=a+b-2r.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHD$$. По теореме Пифагора:

$$CD^2=CH^2+HD^2.$$

Подставим:

$$(a+b-2r)^2=(2r)^2+(b-a)^2.$$

Раскроем скобки:

$$a^2+2ab+b^2-4ar-4br+4r^2=4r^2+b^2-2ab+a^2.$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$2ab-4ar-4br=-2ab,$$

$$4ab-4ar-4br=0.$$

Вынесем общий множитель:

$$4ab-4r(a+b)=0,$$

$$r(a+b)=ab.$$

Следовательно,

$$r=\dfrac{ab}{a+b}$$.