Упр.725 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что BD/AB=DC/AC. Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями а и b.

Проведём высоту $$CH$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$CH=2r$$, так как окружность вписана в прямоугольную трапецию и касается обоих оснований.

Обозначим $$BC=a$$, $$AD=b$$. Тогда

$$DH=AD-AH=AD-BC=b-a.$$

Так как четырёхугольник с вписанной окружностью является описанным, то суммы противоположных сторон равны:

$$CD+BA=BC+AD.$$

Отсюда

$$CD=BA+AD-BC=b+a-2r.$$

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $$CHD$$:

$$CD^2=CH^2+HD^2.$$

Подставим найденные выражения:

$$ (a+b-2r)^2=(2r)^2+(b-a)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ a^2+2ab+b^2-4ar-4br+4r^2=4r^2+b^2-2ab+a^2. $$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$ 2ab-4ar-4br=-2ab. $$

$$ 4ab-4ar-4br=0. $$

$$ 4r(a+b)=4ab. $$

Следовательно,

$$ r=\frac{ab}{a+b}. $$

Ответ

$$r=\frac{ab}{a+b}$$