Упр.724 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части. Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Подробный ответ

Обозначим точки пересечения прямых $$AM$$ и $$AN$$ с диагональю $$BD$$ через $$P$$ и $$O$$ соответственно, как на рисунке.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$N$$ — середина стороны $$BC$$, то $$AN$$ — медиана. Прямая $$BQ$$, где $$Q=AN\cap BD$$, является медианой треугольника $$ABC$$, поэтому точка пересечения медиан делит их в отношении $$2:1$$, считая от вершины:

$$BO:OQ=2:1.$$

Аналогично, в треугольнике $$ADC$$ точка $$M$$ — середина стороны $$CD$$, значит $$AM$$ — медиана. Если $$P=AM\cap BD$$, то для точки пересечения медиан треугольника $$ADC$$ имеем

$$DP:PQ=2:1.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то диагонали пересекаются и делятся пополам. Следовательно, на диагонали $$BD$$ выполняется

$$BQ=QD=\frac{1}{2}BD.$$

Из отношения $$BO:OQ=2:1$$ получаем

$$BO=\frac{2}{3}BQ=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}BD=\frac{1}{3}BD.$$

Из отношения $$DP:PQ=2:1$$ аналогично находим

$$DP=\frac{2}{3}DQ=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}BD=\frac{1}{3}BD.$$

Тогда

$$OP=BD-BO-DP=BD-\frac{1}{3}BD-\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}BD.$$

Следовательно,

$$BO=OP=PD,$$

то есть прямые $$AM$$ и $$AN$$ делят диагональ $$BD$$ на три равные части.

Докажем второе утверждение. Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$

$$AB+CD=BC+AD.$$

Проведём биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ и обозначим их пересечение через $$O$$. Тогда точка $$O$$ равноудалена от сторон $$AB$$ и $$AD$$, а также от сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит она равноудалена от прямых $$AD$$, $$AB$$ и $$BC$$. Следовательно, через точку $$O$$ можно провести окружность, касающуюся сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$AD$$.

Докажем, что эта окружность касается и стороны $$CD$$. Предположим противное: прямая $$CD$$ не касается окружности. Тогда она либо не имеет с ней общих точек, либо является секущей.

Рассмотрим случай, когда через сторону $$CD$$ можно провести касательную $$C’D’$$, параллельную $$CD$$. Тогда четырёхугольник $$ABC’D’$$ — описанный, поэтому

$$AB+C’D’=BC+C’A’$$

$$C’D’+C’C+D’D=CD.$$

Это противоречит условию $$AB+CD=BC+AD$$.

Аналогично исключается и случай, когда $$CD$$ является секущей. Значит, сторона $$CD$$ тоже касается окружности.

Итак, все четыре стороны четырёхугольника касаются одной окружности, следовательно, в данный четырёхугольник можно вписать окружность.