Упр.724 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$M$$ и $$N$$ являются соответственно серединами сторон $$CD$$ и $$BC$$ параллелограмма $$ABCD$$. Докажите, что прямые $$AM$$ и $$AN$$ делят диагональ $$BD$$ на три равные части.
Докажите, что если в выпуклом четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Подробный ответ

Пусть в выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ выполнено

$$AB+CD=BC+AD.$$

Докажем, что в четырёхугольник можно вписать окружность.

Пусть биссектрисы углов $$A$$ и $$B$$ пересекаются в точке $$O$$. Тогда точка $$O$$ равноудалена от сторон $$AD$$, $$AB$$ и $$BC$$, значит, через неё можно провести окружность, касающуюся этих трёх сторон.

Докажем, что эта окружность касается и стороны $$CD$$. Предположим противное: прямая $$CD$$ не касается окружности. Тогда она либо не имеет с ней общих точек, либо является секущей.

Рассмотрим случай, когда через сторону $$CD$$ можно провести касательную $$C’D’$$, параллельную $$CD$$. Тогда четырёхугольник $$ABC’D’$$ — описанный, поэтому

$$AB+C’D’=BC’+AD’.$$

Так как $$C’D’ \parallel CD$$, то

$$C’D’=CD.$$

Кроме того, точки $$C’$$ и $$D’$$ лежат на продолжениях сторон, поэтому

$$BC’=BC,\qquad AD’=AD.$$

Следовательно,

$$AB+CD=BC+AD,$$

то есть условие задачи выполняется и для четырёхугольника $$C’CDD’$$. Но в нём одна сторона равна сумме трёх других, что невозможно для выпуклого четырёхугольника. Получаем противоречие.

Аналогично исключается и случай, когда $$CD$$ является секущей. Значит, прямая $$CD$$ тоже касается окружности.

Итак, окружность касается всех четырёх сторон четырёхугольника $$ABCD$$, следовательно, в него можно вписать окружность.