Упр.723 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
- Задание учебника 2023 года. Докажите, что если прямые, содержащие основания трапеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через середины боковых сторон трапеции, проходит через центр этой окружности.
Пусть $$ABCD$$ — ромб, а $$M, N, P, Q$$ — середины его сторон $$AB, BC, CD, AD$$ соответственно.
Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Так как $$M$$ и $$N$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, то $$MN$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,
$$MN \parallel AC,\qquad MN=\frac12 AC.$$
Рассмотрим треугольник $$ADC$$. Так как $$Q$$ и $$P$$ — середины сторон $$AD$$ и $$DC$$, то $$QP$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$. Значит,
$$QP \parallel AC,\qquad QP=\frac12 AC.$$
Отсюда $$MN \parallel QP$$ и $$MN=QP$$.
Теперь рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$M$$ и $$Q$$ — середины сторон $$AB$$ и $$AD$$, то $$MQ$$ — средняя линия треугольника $$ABD$$. Поэтому
$$MQ \parallel BD,\qquad MQ=\frac12 BD.$$
Рассмотрим треугольник $$BCD$$. Так как $$N$$ и $$P$$ — середины сторон $$BC$$ и $$CD$$, то $$NP$$ — средняя линия треугольника $$BCD$$. Значит,
$$NP \parallel BD,\qquad NP=\frac12 BD.$$
Следовательно, $$MQ \parallel NP$$ и $$MQ=NP$$.
Итак, в четырёхугольнике $$MNPQ$$ обе пары противоположных сторон параллельны, значит, $$MNPQ$$ — параллелограмм.
Кроме того, в ромбе диагонали перпендикулярны, то есть
$$AC \perp BD.$$
Так как $$MN \parallel AC$$ и $$MQ \parallel BD$$, то
$$MN \perp MQ.$$
Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник. Следовательно, $$MNPQ$$ — прямоугольник.
Ответ: середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
