Упр.722 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию.
2. Четырёхугольник $$ABCD$$ описан около окружности радиуса $$r$$. Известно, что $$AB:CD=2:3$$, $$AD:BC=2:1$$. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна $$S$$.

Пусть $$AB=2x,$$ $$CD=3x.$$ Тогда из условия для четырёхугольника, описанного около окружности, имеем

$$AB+CD=BC+AD.$$

Поэтому

$$2x+3x=BC+AD,$$

то есть

$$5x=BC+AD.$$

С другой стороны, по условию $$AD:BC=2:1,$$ значит можно положить

$$AD=2y,\quad BC=y.$$

Тогда

$$2y+y=BC+AD=5x,$$

то есть

$$3y=5x.$$

Площадь четырёхугольника, описанного около окружности, равна

$$S=r\cdot p,$$

где $$r$$ — радиус вписанной окружности, $$p$$ — полупериметр. Но для такого четырёхугольника

$$S=r\cdot \frac{AB+BC+CD+AD}{2}.$$

Из равенства $$AB+CD=BC+AD$$ получаем

$$AB+CD=BC+AD=\frac{AB+BC+CD+AD}{2},$$

следовательно,

$$AB+CD=BC+AD=\frac{S}{r}.$$

Тогда

$$5x=\frac{S}{r},$$

откуда

$$x=\frac{S}{5r}.$$

Значит,

$$AB=2x=\frac{2S}{5r},\qquad CD=3x=\frac{3S}{5r}.$$

Из равенства $$3y=5x=\frac{S}{r}$$ получаем

$$y=\frac{S}{3r},$$

следовательно,

$$BC=\frac{S}{3r},\qquad AD=\frac{2S}{3r}.$$

Ответ: $$AB=\frac{2S}{5r},\; CD=\frac{3S}{5r},\; BC=\frac{S}{3r},\; AD=\frac{2S}{3r}.$$