Упр.722 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что вершины треугольника равноудалены от прямой, содержащей его среднюю линию. Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса г. Известно, что АВ : CD = 2 : 3, AD : ВС = 2 : 1. Найдите стороны четырёхугольника, если его площадь равна S.

Пусть $$AB=2x,$$ $$CD=3x.$$ Тогда по свойству описанного около окружности четырёхугольника

$$AB+CD=BC+AD.$$

По условию $$AD:BC=2:1,$$ значит можно положить $$AD=2y,$$ $$BC=y.$$ Тогда

$$2x+3x=2y+y,$$

то есть

$$5x=3y.$$

Площадь четырёхугольника, описанного около окружности, выражается формулой

$$S=pr,$$

где $$p$$ — полупериметр, $$r$$ — радиус вписанной окружности. Поэтому

$$AB+BC+CD+AD=2p=\frac{2S}{r}.$$

С другой стороны,

$$AB+BC+CD+AD=2x+y+3x+2y=5x+3y.$$

Из равенства $$5x=3y$$ получаем

$$5x+3y=2\cdot 5x=10x,$$

а также

$$5x+3y=2\cdot 3y=6y.$$

Удобнее найти стороны через сумму пар:

$$AB+CD=5x,\qquad BC+AD=3y,$$

и так как $$5x=3y,$$ то

$$AB+CD=BC+AD=\frac{S}{r}.$$

Тогда

$$2x+3x=\frac{S}{r}\Rightarrow 5x=\frac{S}{r},$$

откуда

$$x=\frac{S}{5r}.$$

Следовательно,

$$AB=2x=\frac{2S}{5r},\qquad CD=3x=\frac{3S}{5r}.$$

Теперь из $$5x=3y$$ имеем

$$3y=\frac{S}{r}\Rightarrow y=\frac{S}{3r}.$$

Значит,

$$BC=y=\frac{S}{3r},\qquad AD=2y=\frac{2S}{3r}.$$

Ответ

$$AB=\frac{2S}{5r},\quad CD=\frac{3S}{5r},\quad BC=\frac{S}{3r},\quad AD=\frac{2S}{3r}.$$