Упр.721 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции параллелен её основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапеции равны а и b. Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник — квадрат.

Пусть в прямоугольник $$ABCD$$ вписана окружность с центром $$O$$ и радиусом $$r$$. Тогда окружность касается всех сторон прямоугольника, значит расстояния от центра $$O$$ до противоположных сторон равны, а стороны прямоугольника попарно равны:

$$AB=CD=a,\qquad BC=AD=b.$$

Так как в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Подставим длины сторон прямоугольника:

$$a+a=b+b,$$

откуда

$$2a=2b,\qquad a=b.$$

Следовательно,

$$AB=BC=CD=AD,$$

то есть все стороны прямоугольника равны. Значит, этот прямоугольник — квадрат.

Ответ

Если в прямоугольник можно вписать окружность, то этот прямоугольник является квадратом.