Упр.720 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Диагонали прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с прямым углом $$A$$ взаимно перпендикулярны. Основание $$AB$$ равно $$6\text{ см}$$, а боковая сторона $$AD$$ равна $$4\text{ см}$$. Найдите $$DC$$, $$DB$$ и $$CB$$.
- Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ обоснуйте.
Рассмотрим прямоугольную трапецию $$ABCD$$ с $$\angle A=90^\circ$$. Тогда треугольник $$ADB$$ прямоугольный, и по теореме Пифагора
$$BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{16+36}=2\sqrt{13}\text{ см}.$$
Пусть диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются под прямым углом. Тогда $$\angle A=\angle D=90^\circ$$, а также $$\angle ADB=\angle ACD$$, значит, треугольники $$ADC$$ и $$BAD$$ подобны по двум углам.
Из подобия получаем
$$\frac{DC}{AD}=\frac{AD}{BA}.$$
Подставим известные значения:
$$\frac{DC}{4}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3},$$
откуда
$$DC=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}\text{ см}.$$
Так как $$AB=AH+HB$$, а из подобия также следует, что $$AH=DC=\frac{8}{3}\text{ см}$$, то
$$HB=AB-AH=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\text{ см}.$$
Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHB$$. Тогда
$$CB=\sqrt{CH^2+HB^2}=\sqrt{4^2+\left(\frac{10}{3}\right)^2}=\sqrt{16+\frac{100}{9}}=\sqrt{\frac{244}{9}}=\frac{2}{3}\sqrt{61}\text{ см}.$$
Ответ: $$DC=2\frac{2}{3}\text{ см},\; BD=2\sqrt{13}\text{ см},\; CB=\frac{2}{3}\sqrt{61}\text{ см}.$$
