Упр.719 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 подобны, если: а) AB/A1B1=AC/A1C1=BM/B1M1, где ВМ и В1М1— медианы треугольников; б) угол A = уголA1, AC/A1C1=BH/B1H1, где BH и B1H1 — высоты треугольников ABC и A1B1C1. Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла.

а) Рассмотрим треугольники $$\triangle ABM$$ и $$\triangle A_1B_1M_1$$.

Так как $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, то

$$AM=\frac{1}{2}AC,\qquad A_1M_1=\frac{1}{2}A_1C_1.$$

По условию

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BM}{B_1M_1}.$$

Тогда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BM}{B_1M_1}=\frac{AM}{A_1M_1}.$$

Следовательно, $$\triangle ABM \sim \triangle A_1B_1M_1$$ по трём сторонам. Отсюда

$$\angle A=\angle A_1.$$

Теперь в треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ имеем:

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

б) Рассмотрим треугольники $$\triangle ABH$$ и $$\triangle A_1B_1H_1$$.

Так как $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты, то

$$\angle BHA=\angle B_1H_1A_1=90^\circ.$$

По условию $$\angle A=\angle A_1$$, а также

$$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BH}{B_1H_1}.$$

В прямоугольных треугольниках $$\triangle ABH$$ и $$\triangle A_1B_1H_1$$ острые углы при вершинах $$A$$ и $$A_1$$ равны, значит

$$\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1.$$

Отсюда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BH}{B_1H_1}=\frac{AH}{A_1H_1}=k.$$

Теперь в треугольниках $$\triangle ABC$$ и $$\triangle A_1B_1C_1$$ имеем

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

Следовательно, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

в) Пусть через точку $$A$$ проведены секущие $$ABC$$ и $$ADE$$, пересекающие окружность в точках $$B, C, D, E$$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $$\triangle ACD$$. Тогда

$$\angle A=180^\circ-(\angle C+\angle D)$$

как внешний угол треугольника.

Угол $$\angle D$$ смежный с углом $$\angle CDE$$, поэтому

$$\angle D=180^\circ-\angle CDE.$$

Так как $$\angle CDE$$ — вписанный угол, то

$$\angle CDE=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CE}.$$

Значит,

$$\angle D=180^\circ-\frac{1}{2}\overset{\frown}{CE}.$$

Аналогично, поскольку $$\angle C$$ — вписанный угол,

$$\angle C=\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}.$$

Тогда

$$ \angle CAE =180^\circ-\left(\frac{1}{2}\overset{\frown}{BD}+180^\circ-\frac{1}{2}\overset{\frown}{CE}\right) =\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{BD}\right). $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$; б) $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$; в) $$\angle CAE=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{BD}\right).$$