Упр.719 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ подобны, если:
а) $$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BM}{B_1M_1}$$, где $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы треугольников;
б) $$\angle A=\angle A_1$$, $$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BH}{B_1H_1}$$, где $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$.
Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие. Докажите, что угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключённых внутри угла.

Подробный ответ

а)

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$A_1B_1M_1$$.

Так как $$BM$$ и $$B_1M_1$$ — медианы, то

$$AM=\frac12 AC,\qquad A_1M_1=\frac12 A_1C_1.$$

По условию

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BM}{B_1M_1}.$$

Тогда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BM}{B_1M_1}=\frac{AM}{A_1M_1}.$$

Следовательно, $$\triangle ABM \sim \triangle A_1B_1M_1$$ по трём сторонам.

Отсюда $$\angle A=\angle A_1$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$. У них

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

б)

Рассмотрим треугольники $$ABH$$ и $$A_1B_1H_1$$.

Так как $$BH$$ и $$B_1H_1$$ — высоты, то

$$\angle BHA=\angle B_1H_1A_1=90^\circ.$$

По условию $$\angle A=\angle A_1$$, значит, $$\triangle ABH \sim \triangle A_1B_1H_1$$ по двум углам.

Отсюда

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BH}{B_1H_1}=\frac{AH}{A_1H_1}.$$

Но по условию

$$\frac{AC}{A_1C_1}=\frac{BH}{B_1H_1}.$$

Следовательно,

$$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ имеем

$$\angle A=\angle A_1,\qquad \frac{AB}{A_1B_1}=\frac{AC}{A_1C_1}.$$

Значит, $$\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

в)

Пусть через точку $$A$$ проведены секущие $$ABC$$ и $$AED$$, где точки $$B, C, D, E$$ лежат на окружности.

Рассмотрим треугольник $$ACD$$. Тогда

$$\angle A=180^\circ-(\angle C+\angle D).$$

Угол $$\angle D$$ смежный с внешним углом треугольника $$CDE$$, поэтому

$$\angle D=180^\circ-\angle CDE.$$

Так как $$\angle CDE$$ — вписанный угол, то

$$\angle CDE=\frac12 \overset{\frown}{CE}.$$

Значит,

$$\angle D=180^\circ-\frac12 \overset{\frown}{CE}.$$

Аналогично,

$$\angle C=\frac12 \overset{\frown}{BD}.$$

Тогда

$$\angle CAE =180^\circ-\left(\frac12 \overset{\frown}{BD}+180^\circ-\frac12 \overset{\frown}{CE}\right) =\frac12\left(\overset{\frown}{CE}-\overset{\frown}{BD}\right).$$

Что и требовалось доказать.