Упр.718 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Два шеста АВ и CD разной длины а и b установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга так, как показано на рисунке 210. Концы А и D, В и С соединены верёвками, которые пересекаются в точке О. По данным рисунка докажите, что: а) m/d=x/b и n/d=x/a; б) x/a+x/b=1. Найдите x и докажите, что x не зависит от расстояния d между шестами АВ и CD. По данным рисунка 237 докажите, что угол AMB = 1/2(CLD + АКВ).

1) Обозначим $$AK=m,$$ $$KC=n,$$ $$AC=d,$$ $$OK=x.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle ADC$$ и $$\triangle AOK.$$

У них $$\angle A$$ — общий, а $$\angle OKA=\angle DCA=90^\circ$$, значит, $$\triangle ADC \sim \triangle AOK$$ по двум углам.

Из подобия получаем:

$$\frac{DC}{OK}=\frac{AC}{AK}.$$

Подставляя обозначения, имеем

$$\frac{b}{x}=\frac{d}{m},$$

откуда

$$\frac{x}{b}=\frac{m}{d}.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle KOC$$.

У них $$\angle C$$ — общий, а $$\angle BAC=\angle OKC=90^\circ$$, значит, $$\triangle ABC \sim \triangle KOC$$ по двум углам.

Следовательно,

$$\frac{AB}{OK}=\frac{AC}{KC}.$$

Подставляя обозначения, получаем

$$\frac{a}{x}=\frac{d}{n},$$

откуда

$$\frac{x}{a}=\frac{n}{d}.$$

2) Складываем равенства:

$$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=\frac{n}{d}+\frac{m}{d}=\frac{m+n}{d}.$$

Так как $$m+n=AC=d,$$ то

$$\frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1.$$

Отсюда

$$x\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1,$$

$$x\cdot \frac{a+b}{ab}=1,$$

$$x=\frac{ab}{a+b}.$$

Полученная формула не содержит $$d$$, значит, $$x$$ не зависит от расстояния между шестами.

Ответ

$$\frac{m}{d}=\frac{x}{b},\qquad \frac{n}{d}=\frac{x}{a},\qquad \frac{x}{a}+\frac{x}{b}=1,\qquad x=\frac{ab}{a+b}.$$

Ход решения

Проведём хорду $$BC$$. Тогда $$\angle AMB=\angle 1+\angle 2$$, так как это внешний угол треугольника $$BMC$$.

По свойству вписанного угла:

$$\angle 1=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CLD},$$

$$\angle 2=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AKB}.$$

Следовательно,

$$\angle AMB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{CLD}+\frac{1}{2}\overset{\frown}{AKB}=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{CLD}+\overset{\frown}{AKB}\right).$$

Ответ

$$\angle AMB=\frac{1}{2}\left(\overset{\frown}{CLD}+\overset{\frown}{AKB}\right).$$