Упр.717 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Докажите, что медиана $$AM$$ треугольника $$ABC$$ делит пополам любой отрезок, параллельный стороне $$BC$$, концы которого лежат на сторонах $$AB$$ и $$AC$$.
- Отрезок $$AB$$ является диаметром окружности, а хорды $$BC$$ и $$AD$$ параллельны. Докажите, что хорда $$CD$$ является диаметром.
Рассмотрим окружность с центром $$O$$. Так как $$AB$$ — диаметр, то точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой. Проведём хорды $$BC$$ и $$AD$$, причём $$BC \parallel AD$$.
Тогда прямая $$AB$$ является секущей к параллельным прямым $$AD$$ и $$BC$$, поэтому
$$\angle DAB=\angle ABC$$
как накрест лежащие углы.
Теперь выразим эти углы через дуги окружности:
$$\angle DAB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DB}, \qquad \angle ABC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}$$
Следовательно,
$$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{AC}.$$
Рассмотрим углы $$\angle ADC$$ и $$\angle DCB$$. Они являются вписанными, значит
$$\angle ADC=\frac{1}{2}\overset{\frown}{AC}, \qquad \angle DCB=\frac{1}{2}\overset{\frown}{DB}.$$
Так как $$\overset{\frown}{DB}=\overset{\frown}{AC}$$, то
$$\angle ADC=\angle DCB.$$
Следовательно, треугольник $$ADC$$ равнобедренный, и
$$AD=DC.$$
Аналогично из равенства вписанных углов получаем, что
$$AO=OD \quad \text{и} \quad OB=OC.$$
Тогда
$$CD=OD+OC=AO+OB=AB.$$
Но $$AB$$ — диаметр окружности, значит хорда $$CD$$ равна диаметру. Следовательно, $$CD$$ тоже является диаметром.
Ответ
$$CD$$ — диаметр.
