Упр.715 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: На стороне ВС треугольника ABC взята точка D так, что BD/AB=DC/AC. Докажите, что AD — биссектриса треугольника ABC. Диаметр АА1 окружности перпендикулярен к хорде ВВ1. Докажите, что градусные меры дуг АВ и АВ1, меньших полуокружности, равны.

Подробный ответ

Рассмотрим отношение

$$\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}.$$

Отсюда получаем

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}.$$

Значит, точка $$D$$ делит сторону $$BC$$ в отношении

$$BD:DC=AB:AC.$$

По обратной теореме о биссектрисе, если точка на стороне треугольника делит её в отношении прилежащих сторон, то отрезок, соединяющий эту точку с противоположной вершиной, является биссектрисой. Следовательно, $$AD$$ — биссектриса угла $$A$$ треугольника $$ABC$$.

Во второй задаче пусть $$O$$ — центр окружности. Так как $$AA_1$$ — диаметр, то прямая $$AA_1$$ проходит через центр $$O$$. По условию $$AA_1 \perp BB_1$$, значит, диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам. Следовательно, точка $$D$$ — середина хорды $$BB_1$$, то есть

$$BD=DB_1.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BOD$$ и $$B_1OD$$. У них

$$BO=OB_1=r,$$

$$OD$$ — общий катет,

$$\angle BDO=\angle ODB_1=90^\circ.$$

Значит, $$\triangle BOD \cong \triangle B_1OD$$ по гипотенузе и катету. Тогда

$$\angle BOD=\angle DOB_1.$$

Но центральные углы $$\angle BOD$$ и $$\angle DOB_1$$ стягивают дуги $$\overset{\frown}{AB}$$ и $$\overset{\frown}{AB_1}$$ соответственно, поэтому эти дуги равны:

$$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB_1}.$$