Упр.712 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются в точке О. Найдите отношение OK:ON, если MN = 5 см, NP =3 см, МР = 7 см. Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.

Пусть $$MK=x$$, тогда $$KP=7-x$$.

Так как $$NK$$ — биссектриса треугольника $$MNP$$, то по теореме о биссектрисе

$$\frac{MK}{KP}=\frac{MN}{NP}.$$

Подставим данные:

$$\frac{x}{7-x}=\frac{5}{3}.$$

Решим уравнение:

$$3x=5(7-x),$$

$$3x=35-5x,$$

$$8x=35,$$

$$x=\frac{35}{8}.$$

Тогда

$$MK=\frac{35}{8}, \qquad KP=7-\frac{35}{8}=\frac{21}{8}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$MNK$$. Так как $$MD$$ — биссектриса этого треугольника, то

$$\frac{OK}{ON}=\frac{MK}{MN}.$$

Подставим найденное значение $$MK$$ и данное $$MN=5$$:

$$\frac{OK}{ON}=\frac{35/8}{5}=\frac{35}{40}=\frac{7}{8}.$$

Ответ

$$OK:ON=7:8.$$