Упр.712 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Биссектрисы $$MD$$ и $$NK$$ треугольника $$MNP$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите отношение $$OK:ON$$, если $$MN=5\text{ см}$$, $$NP=3\text{ см}$$, $$MP=7\text{ см}$$.
2. Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются.

Пусть $$MK=x,$$ тогда $$KP=7-x.$$

Так как $$NK$$ — биссектриса треугольника $$MNP,$$ то по теореме о биссектрисе

$$\frac{MK}{KP}=\frac{MN}{NP}.$$

Подставим данные:

$$\frac{x}{7-x}=\frac{5}{3}.$$

Отсюда

$$3x=5(7-x),$$

$$3x=35-5x,$$

$$8x=35,$$

$$x=\frac{35}{8}.$$

Теперь найдём отношение $$OK:ON.$$

Так как $$MD$$ и $$NK$$ — биссектрисы, точка $$O$$ лежит на биссектрисе $$NK$$ треугольника $$MNP,$$ значит, в треугольнике $$MKN$$

$$\frac{OK}{ON}=\frac{MK}{MN}.$$

Тогда

$$\frac{OK}{ON}=\frac{35/8}{5}=\frac{35}{40}=\frac{7}{8}.$$

Ответ: $$7:8$$.