Упр.711 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных треугольника. Докажите, что АС2 = а x b, где а и b — основания трапеции. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для каждого из них постройте описанную окружность.

Подробный ответ

Пусть диагональ $$AC$$ делит трапецию $$ABCD$$ на два подобных треугольника: $$\triangle ABC \sim \triangle ACD$$.

Тогда для соответствующих сторон имеем:

$$\frac{AB}{CD}=\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AC}.$$

Из равенства отношений

$$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}$$

получаем:

$$AC^2=BC\cdot AD.$$

По условию $$BC=a$$, $$AD=b$$, значит

$$AC^2=a\cdot b.$$

Что и требовалось доказать.

Построение описанной окружности для треугольников:

для тупоугольного треугольника строим серединные перпендикуляры к двум сторонам; их пересечение — центр описанной окружности;
для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы;
для равностороннего треугольника строим биссектрисы двух углов; их пересечение — центр описанной окружности.

Во всех трёх случаях окружность строится с центром в найденной точке и радиусом, равным расстоянию от центра до любой вершины треугольника.