Упр.709 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол BAD равен 47°50′. Найдите площадь параллелограмма, если его диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ. Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. Так как $$BD \perp AB$$, то $$\angle ABD = 90^\circ$$, значит, $$\triangle ABD$$ — прямоугольный, а $$AD$$ — его гипотенуза.

Тогда

$$\sin \angle BAD = \frac{BD}{AD}, \qquad \cos \angle BAD = \frac{AB}{AD}.$$

Найдём катеты:

$$BD = AD \cdot \sin 47^\circ 50′ = 12 \cdot 0{,}7412 = 8{,}89\ \text{см},$$

$$AB = AD \cdot \cos 47^\circ 50′ = 12 \cdot 0{,}6712 = 8{,}06\ \text{см}.$$

Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними:

$$S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin \angle BAD.$$

Но удобнее воспользоваться тем, что в прямоугольном треугольнике $$ABD$$

$$S_{ABCD} = AB \cdot BD,$$

так как высота к стороне $$AB$$ равна $$BD$$.

Тогда

$$S_{ABCD} = 8{,}06 \cdot 8{,}89 = 71{,}76\ \text{см}^2.$$

Докажем, что если около параллелограмма можно описать окружность, то он прямоугольник.

Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы его противоположных углов равны $$180^\circ$$:

$$\angle A + \angle C = 180^\circ, \qquad \angle B + \angle D = 180^\circ.$$

В параллелограмме противоположные углы равны:

$$\angle A = \angle C, \qquad \angle B = \angle D.$$

Следовательно,

$$\angle A = \angle C = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ,$$

и аналогично

$$\angle B = \angle D = 90^\circ.$$

Значит, все углы параллелограмма прямые, то есть этот параллелограмм — прямоугольник.

Ответ

$$S_{ABCD} = 71{,}76\ \text{см}^2.$$ Параллелограмм, около которого можно описать окружность, является прямоугольником.