Упр.708 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Стороны прямоугольника равны 3 см и корень3 см. Найдите углы, которые образует диагональ со сторонами прямоугольника. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.

Подробный ответ

1) Пусть $$ABCD$$ — прямоугольник, где $$BC=3\text{ см}$$, $$AB=\sqrt{3}\text{ см}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABD$$.

Тогда

$$\tg \angle ABD=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3},$$

значит, $$\angle ABD=60^\circ$$.

Аналогично для треугольника $$CBD$$:

$$\tg \angle CBD=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}},$$

следовательно, $$\angle CBD=30^\circ$$.

2) Докажем, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

У прямоугольника все углы равны $$90^\circ$$, поэтому сумма противоположных углов равна

$$90^\circ+90^\circ=180^\circ.$$

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна $$180^\circ$$, то около него можно описать окружность. Значит, около любого прямоугольника можно описать окружность.

3) Докажем, что около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, а сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $$180^\circ$$. Следовательно, сумма противоположных углов трапеции равна $$180^\circ$$.

По признаку вписанного четырёхугольника около любой равнобедренной трапеции можно описать окружность.