Упр.705 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь равнобедренной трапеции с основаниями $$2\ \text{см}$$ и $$6\ \text{см}$$, если угол при большем основании равен $$a$$.
2. Около прямоугольного треугольника $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если: а) $$AC=8\ \text{см}$$, $$BC=6\ \text{см}$$; б) $$AC=18\ \text{см}$$, угол $$B=30^\circ$$.

Пусть $$O$$ — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника $$ABC$$, где $$\angle C=90^\circ$$.

а)

По теореме Пифагора найдём гипотенузу:

$$AB^2=AC^2+BC^2=8^2+6^2=64+36=100,$$

значит, $$AB=10$$ см.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому радиус равен половине гипотенузы:

$$r=\frac{AB}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ см}.$$

б)

Так как $$\angle C=90^\circ$$ и $$\angle B=30^\circ$$, то треугольник $$ABC$$ — треугольник с углом $$30^\circ$$. В таком треугольнике сторона, лежащая против угла $$30^\circ$$, равна половине гипотенузы. Следовательно,

$$AC=\frac{AB}{2},$$

откуда

$$AB=2AC=2\cdot 18=36\text{ см}.$$

Тогда радиус описанной окружности:

$$r=\frac{AB}{2}=\frac{36}{2}=18\text{ см}.$$

Ответ

а) $$5$$ см; б) $$18$$ см.