Упр.704 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом а при основании, если: а) боковая сторона равна b; б) основание равно а. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. а) Докажите, что точка О — середина гипотенузы. б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d, а один из острых углов треугольника равен а.

а) В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ проведём высоту $$BH$$ к основанию $$AC$$. Тогда $$BH$$ — также медиана, значит $$AH=HC$$.

Из прямоугольного треугольника $$ABH$$ имеем:

$$\sin \alpha=\frac{BH}{AB}, \qquad BH=b\sin \alpha.$$

Также

$$\cos \alpha=\frac{AH}{AB}, \qquad AH=b\cos \alpha.$$

Тогда

$$AC=AH+HC=2AH=2b\cos \alpha.$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 2b\cos \alpha \cdot b\sin \alpha=b^2\sin \alpha \cos \alpha.$$

б) Снова проведём высоту $$BH$$ к основанию $$AC$$. Так как треугольник равнобедренный, то $$BH$$ является и медианой, поэтому

$$AH=HC=\frac{a}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$\tg \alpha=\frac{BH}{AH}, \qquad BH=\frac{a}{2}\tg \alpha.$$

Тогда площадь:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC \cdot BH=\frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{a}{2}\tg \alpha=\frac{a^2\tg \alpha}{4}.$$

в) Пусть $$\triangle ABC$$ прямоугольный, $$\angle C=90^\circ$$, а окружность с центром $$O$$ описана около него.

Так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $$90^\circ$$, то сторона $$AB$$ является диаметром окружности. Следовательно, центр окружности $$O$$ — середина гипотенузы $$AB$$.

Если $$AB=d$$ и $$\angle A=\alpha$$, то в прямоугольном треугольнике:

$$\sin \alpha=\frac{BC}{AB}, \qquad BC=d\sin \alpha,$$

$$\cos \alpha=\frac{AC}{AB}, \qquad AC=d\cos \alpha.$$

Итак, стороны треугольника равны:

$$AB=d,\qquad BC=d\sin \alpha,\qquad AC=d\cos \alpha.$$

Ответ

а) $$S_{ABC}=b^2\sin \alpha \cos \alpha$$; б) $$S_{ABC}=\frac{a^2\tg \alpha}{4}$$; в) $$O$$ — середина гипотенузы, $$AB=d$$, $$BC=d\sin \alpha$$, $$AC=d\cos \alpha$$.