Упр.701 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $$b$$, а прилежащий к нему угол равен $$a$$. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через $$b$$ и $$a$$. б) Найдите их значения, если $$b=12\text{ см}$$, $$a=42^\circ$$.
2. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность.

Обозначим второй катет через $$x$$, гипотенузу — через $$c$$. Тогда в прямоугольном треугольнике при угле $$\alpha$$:

$$\tan \alpha=\frac{x}{b}, \qquad \cos \alpha=\frac{b}{c}.$$

Отсюда

$$x=b\tan \alpha,$$
$$c=\frac{b}{\cos \alpha}.$$

Прилежащий к углу $$\alpha$$ острый угол равен

$$90^\circ-\alpha.$$

При $$b=12\text{ см}$$ и $$\alpha=42^\circ$$ получаем:

$$x=12\tan 42^\circ \approx 12\cdot 0{,}9004 \approx 10{,}8\text{ см},$$
$$c=\frac{12}{\cos 42^\circ}\approx \frac{12}{0{,}7431}\approx 16{,}15\text{ см},$$
$$90^\circ-42^\circ=48^\circ.$$

Ответ: $$x=b\tan\alpha,\; c=\dfrac{b}{\cos\alpha},\; 90^\circ-\alpha.$$ При $$b=12\text{ см},\ \alpha=42^\circ$$: $$x\approx 10{,}8\text{ см},\ c\approx 16{,}15\text{ см},\ 48^\circ.$$