Упр.700 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 8 класс, Просвещение: В прямоугольном треугольнике один из катетов равен Ь, а противолежащий угол равен р. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через b и b. б) Найдите их значения, если b = 10см, b = 50°. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

а) Обозначим катеты прямоугольного треугольника так, как на рисунке: $$AC=b,$$ $$\angle C=90^\circ,$$ $$\angle B=\beta.$$

Тогда по определению тангенса угла $$\beta$$:

$$\tg \beta=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{BC},$$

откуда

$$BC=\frac{b}{\tg \beta}.$$

По определению синуса угла $$\beta$$:

$$\sin \beta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{AB},$$

откуда

$$AB=\frac{b}{\sin \beta}.$$

Так как в прямоугольном треугольнике острые углы в сумме дают $$90^\circ,$$ то

$$\angle A=90^\circ-\beta.$$

б) При $$b=10\text{ см}$$ и $$\beta=50^\circ$$ получаем:

$$\angle A=90^\circ-50^\circ=40^\circ,$$

$$BC=\frac{10}{\tg 50^\circ}\approx \frac{10}{1{,}1918}\approx 8{,}39\text{ см},$$

$$AB=\frac{10}{\sin 50^\circ}\approx \frac{10}{0{,}766}\approx 13{,}05\text{ см}.$$

Докажем, что в любой ромб можно вписать окружность.

Пусть $$ABCD$$ — ромб. Тогда по определению ромба

$$AB=BC=CD=DA.$$

Следовательно,

$$AB+CD=BC+DA.$$

А это значит, что в четырёхугольник можно вписать окружность, так как для этого необходимо и достаточно, чтобы суммы длин противоположных сторон были равны. Значит, в любой ромб можно вписать окружность.

Ответ

$$BC=\frac{b}{\tg \beta},\quad AB=\frac{b}{\sin \beta},\quad \angle A=90^\circ-\beta.$$

При $$b=10\text{ см},\ \beta=50^\circ$$: $$\angle A=40^\circ,$$ $$BC\approx 8{,}39\text{ см},$$ $$AB\approx 13{,}05\text{ см}.$$ В любой ромб можно вписать окружность.