Упр.700 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- В прямоугольном треугольнике один из катетов равен $$b$$, а противолежащий угол равен $$\beta$$.
а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через $$b$$ и $$\beta$$.
б) Найдите их значения, если $$b=10\text{ см}$$, $$\beta=50^\circ$$. - Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
Пусть в прямоугольном треугольнике $$\angle C=90^\circ,$$ $$AC=b,$$ $$\angle B=\beta.$$ Тогда:
а)
По определению тангенса угла $$\beta$$
$$\tg \beta=\frac{AC}{BC}=\frac{b}{BC},$$
откуда
$$BC=\frac{b}{\tg \beta}.$$
По определению синуса угла $$\beta$$
$$\sin \beta=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{AB},$$
откуда
$$AB=\frac{b}{\sin \beta}.$$
Так как в прямоугольном треугольнике острые углы дополняют друг друга до $$90^\circ,$$ то
$$\angle A=90^\circ-\beta.$$
б)
Найдём значения при $$b=10\text{ см}$$ и $$\beta=50^\circ$$:
$$\angle A=90^\circ-50^\circ=40^\circ,$$
$$BC=\frac{10}{\tg 50^\circ}\approx \frac{10}{1{,}1918}\approx 8{,}39\text{ см},$$
$$AB=\frac{10}{\sin 50^\circ}\approx \frac{10}{0{,}7660}\approx 13{,}05\text{ см}.$$
Ответ: $$BC=\frac{b}{\tg \beta},\ AB=\frac{b}{\sin \beta},\ \angle A=90^\circ-\beta;\quad \angle A=40^\circ,\ BC\approx 8{,}39\text{ см},\ AB\approx 13{,}05\text{ см}.$$
